O complemento de qualquer relação assimétrica é simétrico?

Não, o complemento de uma relação assimétrica nem sempre é simétrico.

Uma relação assimétrica é uma relação binária R em um conjunto A tal que para todo a, b em A, se (a, b) em R, então (b, a) não está em R.

O complemento de uma relação R em um conjunto A é a relação R^c em A tal que para todo a, b em A, (a, b) em R^c se e somente se (a, b) não estiver em R .

Portanto, o complemento de uma relação assimétrica R em um conjunto A é uma relação R^c sobre A tal que para todo a, b em A, se (a, b) em R^c, então (b, a) não é em R^c.

Isso não significa que R^c seja simétrico. Por exemplo, considere a relação R ={(1, 2), (2, 3)} no conjunto A ={1, 2, 3}. Então, R é uma relação assimétrica. No entanto, o complemento de R é R^c ={(1, 3), (2, 1), (3, 2)}, que não é simétrico.