O conflito é diferente do clímax em um conto?

Sim, conflito e clímax são dois elementos distintos num conto.

Conflito é uma luta ou confronto entre forças opostas. Pode ser interno (dentro de um personagem) ou externo (entre um personagem e uma força externa). O conflito é o que impulsiona a ação da história e cria suspense.

Clímax é o ponto de viragem da história. É o momento em que o conflito é resolvido, ou pelo menos chega ao auge. O clímax costuma ser o momento mais intenso da história e leva à ação e resolução decrescentes.

Em suma, o conflito é o motor que impulsiona a história, enquanto o clímax é o momento culminante da história.