O que acontece quando você diz eu sob juramento?

Em um "juramento" (supondo que você se refira a uma afirmação ou juramento feito sob pena de perjúrio), dizer "eu" normalmente faz parte do procedimento padrão de prestação de juramento e não há consequência ou significado específico associado a dizê-lo.

Um juramento é uma declaração ou promessa formal feita por uma pessoa para afirmar a verdade ou fidelidade de sua declaração ou a sinceridade de suas intenções. Dizer “eu” significa a responsabilidade pessoal e o compromisso do indivíduo que presta o juramento. Enfatiza a sua disposição de serem responsabilizados pela veracidade das informações que estão prestes a fornecer.

Não há nada de especial na própria letra “I”; serve simplesmente como um indicador gramatical de que a pessoa que presta o juramento está falando em seu nome e afirmando pessoalmente a veracidade ou fidelidade de suas declarações.