No Missouri, é legal para uma ex-mulher instruir uma criança de quatorze anos a gravar o áudio do pai e de sua nova namorada na batalha pela custódia do uso doméstico?

Não.
É ilegal no Missouri gravar uma conversa sem o consentimento de todas as partes envolvidas. Isso inclui conversas que ocorrem em ambientes privados, como a casa de uma pessoa. Existem algumas exceções a esta regra, mas elas não se aplicam à situação que você descreveu.